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Theorie zu musikalischen Stimmungen
Der EinzeltonDer Einzelton ist eine einfache Schwingung, die durch ihre Frequenz (Anzahl Schwingungen pro Sekunde) in der Masseinheit Herz (Hz.) und durch die Lautstärke definiert ist. In der Praxis ist ein Ton meistens von mitschwingenden Obertönen begleitet, die den Ton in ihrem Klang charakterisieren. So ist der Ton einer Flöte zum Ton einer Trompete durch diese Obertöne in ihrer Klangfarbe markant unterschiedlich. Die IntervalleZwei Töne, die miteinander schwingen, erregen unser Empfinden und wir
unterscheiden Intervalle, die sehr harmonisch klingen von denen, die weniger gut klingen
und solche, die sich derart reiben, dass wir sie als unangenehm empfinden. Es ist die
Kunst der Musik, durch gezielte Wahl der Intervalle unsere Gefühle an verschiedenen
Stellen zu berühren. Fast alle namhaften Mathematiker haben sich mit der Theorie der
Harmonielehre beschäftigt. Euler hat einen Massstab zur Klassifizierung von Intervallen
in Konsonanzgrade aufgestellt. Die nachstehenden Intervalle mit ihren
Frequenzverhältnissen gelten klassifiziert als harmonisch.
Die TonleiterIn der westlichen Welt hat sich durchgesetzt, die Oktave in 12 Halbtonschritte aufzuteilen (chromatische Tonleiter). Dabei ist es möglich, die Oktave mit 12 gleichen Halbtonschritten (gleichstufige Stimmung) oder mit 12 ungleich grossen Halbtonschritten (ungleichstufige Stimmung) zu durchlaufen. Jede dieser Möglichkeiten führt zu einem unterschiedlichen Klang. Die ungleichstufige StimmungAus den vielen möglichen Varianten ungleichstufiger Stimmungen wollen wir
die wichtigste, die reine Stimmung herausgreifen. Gemäss nachfolgender Aufstellung stehen
die 12 Halbtöne einer Oktave in einem festen Frequenzverhältnis zum Grundton (f0).
Die Frequenz des n-ten Halbtons wird mit fn bezeichnet.
Die Durtonleitern der reinen StimmungDas feste Frequenzverhältnis der 12 Halbtöne einer Oktave zum Grundton
ist relativ. Auf jedem Grundton mit einer beliebigen Frequenz kann demzufolge eine
Durtonleiter in reiner Stimmung aufgebaut werden. Erst mit dem Referenzton (Kammerton)
wird die Tonskala mit absoluten Frequenzzahlen definiert. Es hat sich durchgesetzt, dass
die Frequenz des Tones a der eingestrichenen Oktave mit 440 Herz festgelegt ist und dass
auf jedem Halbton eine neue Durtonleiter (Tonart) aufgebaut wird. Somit sind 12
Durtonarten möglich. Mit dem Quintenzirkel werden sechs # -Tonarten von C nach oben
schreitend und sechs b-Tonarten von C nach unten schreitend definiert. Oft fühlen sich
Musiker in diesem Tonartenraster eingeengt und variieren den Referenzton (Kammerton) in
seiner Frequenz beliebig nach unten oder nach oben.
Die absoluten Frequenzwerte der einzelnen Töne in der Tabelle der chromatischen Durtonleitern zeigen, dass der Wechsel in eine andere Tonart die Umstimmung gewisser Töne fordert. Es gäbe sonst Intervalle, die heulende Dissonanzen hervorbringen wie z.B. die Wolfsquinte. Bei fest gestimmten Musikinstrumenten ist dies nicht möglich. So hat man sich z.B. bei Kirchenorgeln mit mehreren Manuals beholfen, die auf unterschiedlich gestimmte Register zugriffen. Das Pythagoräische KommaSchon der Mathematiker Pythagoras hat vor über 2000 Jahren erkannt, dass
die Aneinanderreihung reiner Intervalle zu einer Abdrift der Tonart führt. Dieses
Phänomen lässt sich mit folgendem Beispiel belegen:
Diese Abweichung nennt man das Pythagoräische Komma. Die Komplexität der Zusammenhänge in der Harmonielehre hat zu einem Kompromiss geführt, damit auf einer Tastatur (Klavier) alle Tonarten gespielt werden können. Es wird Bach zugeschrieben, die wohl temperierte Stimmung erfunden zu haben. Heute hat sich die gleichstufig temperierte Stimmung auf der Basis der reinen Oktave als Normstimmung durchgesetzt. Die gleichstufig temperierte Stimmung auf der Basis der reinen OktaveEs liegt nahe, die Oktave in mathematisch 12 gleiche Halbtonstufen zu unterteilen. Dabei ist jeder Halbton von seinem benachbarten Halbton in seiner Frequenz um einen konstanten Faktor U distanziert. 12 Halbtöne ergeben somit das Frequenzverhältnis 1:2 der Oktave. Somit ist der Halbtonschritt
In dieser Stimmung sind alle Intervalle ausser der Oktave geringfügig unrein. Der Vorteil liegt darin, dass alle Tonarten auf einer Tastatur spielbar sind. Die absoluten Frequenzen aller Halbtöne der 12 Durtonarten in der gleichstufig temperierten Stimmung auf der Basis der reinen Oktave
So ideal diese gleichstufig temperierte Stimmung auf der Basis der reinen Oktaven erscheinen mag, bleibt sie trotzdem eine Kompromisslösung. Die Terzen sind dominant unrein und auch andere Intervalle klingen durch Schwebungen in den Obertönen rauh. Dem Wechsel in eine andere Tonart fehlt die spezifische Klangfarbe. Die Tonarten klingen alle gleich. Es ist den vielen strebsamen Musikern und Instrumentenstimmern zu verdanken, dass sie nach Möglichkeiten zur Klangoptimierung gesucht und Lösungen dazu gefunden haben. Die Streckung der OktaveBesonders beim Klavier ist festzustellen, dass die Obertöne leicht erhöht sind und dadurch der Klang merklich beeinflusst wird. Dieses Phänomen lässt sich durch die Steifigkeit der Saiten erklären, die sich an ihren Einspannstellen nicht widerstandslos bewegen können und dadurch die Saitenlängen faktisch verkürzen. Dabei spricht man von einer natürlichen Streckung. Es ist auch möglich, die Oktave gezielt zu strecken. Viele Versuche haben gezeigt, dass sich der Klang dadurch deutlich optimieren lässt. Über das Mass der Streckung lässt sich philosophieren. Erfahrungsgemäss bringen Oktavstreckungen zwischen 1 und 3 Cent sehr gute Resultate. Gleichstufig gestreckte temperierte Stimmung auf der Basis der reinen QuinteSchon Pythagoras hat versucht, reine Quinten aneinander zu reihen. Dadurch wird die Oktave gestreckt. Das Intervall einer Quinte hat das Frequenzverhältnis 1: 3/2 und besteht aus 7 Halbtönen. Wird die Quinte mathematisch gleichstufig aufgeteilt, so erhalten wir den Faktor V, um den sich die nebeneinander liegenden Halbtöne unterscheiden. Somit ist der Halbtonschritt
In dieser Stimmung sind alle Halbtöne leicht verstimmt ausser der Quinte. Es zeigt sich, dass Intervalle, die mehrere Oktaven überspannen, unrein klingen. Alle Tonarten sind auf einer Tastatur spielbar. Die Frequenzen aller Halbtöne der 12 Durtonarten in der gleichstufig gestreckten temperierten Stimmung auf der Basis der reinen Quinte.
Die Masseinheit CentUm die Abweichung eines Tones von seinem Sollwert massstäblich darzustellen, wurde das Centmass eingeführt. Dabei wird die Oktave in 1200 Cent unterteilt. Ein gleichstufiger Halbtonschritt auf der Basis einer reinen Oktave hat somit 100 Cent. Mit diesem sehr feinen Massstab lässt sich die Präzision einer Stimmung physikalisch genau darstellen. SchlussbemerkungTöne und Intervalle präzise zu stimmen ist aufgrund der Komplexität der
Harmonie sehr schwierig. Jeder Eingriff hat Auswirkungen auf den gesamten Zusammenhang der
Intervalle. Besonders die gleichstufigen Stimmungen (Oktavstreckungen etc.) sind mit dem
menschlichen Hörorgan nur sehr schwer zu bewerkstelligen. Wenn auch Verfahren (wie
Kirnberger etc.) beim Stimmen angewendet werden, ist es sehr schwierig, die kleinen
Unterschiede in den Schwebungen der Töne zu beurteilen. Es ist für Instrumentenstimmer
absolut zielführender und rationeller, ein präzises Stimmgerät zu verwenden. Damit kann
unzweifelhaft die Abweichung der Stimmung festgestellt werden. Linkshttp://www.instrument-tuner.com
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